الرياضيات المتناهية الأمثلة

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 1

الدالة الكسرية هي أي دالة يمكن كتابتها في صورة نسبة بين دالتين متعددتي الحدود بهما القاسم لا يساوي $0$ .

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ هي دالة كسرية

خطوة 2

تكون الدالة الكسرية فعلية عندما تكون درجة البسط أقل من درجة القاسم، وإلا فإنها تكون غير فعلية.

تدل درجة بسط الكسر الأقل من درجة القاسم على أنها دالة صحيحة

تدل درجة بسط الكسر الأكبر من درجة القاسم على أنها دالة معتلّة

يدل تساوي درجة بسط الكسر مع درجة القاسم على أنها دالة معتلّة

خطوة 3

أوجِد درجة بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط وأعِد ترتيب متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

${(3 x)}^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 x$ .

$3^{3} x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 x^{3} + 3 {(3 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 (3^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.4

اضرب $3$ في $3^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

انقُل $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.4.2

اضرب $3^{2}$ في $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.4.3

أضف $2$ و $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.5

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 x^{3} + 27 x^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.6

اضرب $- 1$ في $27$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 3 (3 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.7

اضرب $3$ في $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.9

اضرب $9$ في $1$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x + {(- 1)}^{3}$

خطوة 3.1.2.10

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

خطوة 3.2

الأُس الأكبر هو درجة متعدد الحدود.

$3$

خطوة 4

أوجِد درجة القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط وأعِد ترتيب متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة ${(x^{2} + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$

خطوة 4.1.2

وسّع $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)$

خطوة 4.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)$

خطوة 4.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.3.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.3.1.3

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.3.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1$

خطوة 4.1.3.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

خطوة 4.2

الأُس الأكبر هو درجة متعدد الحدود.

$4$

خطوة 5

درجة بسط الكسر $3$ أصغر من درجة القاسم $4$ .

$3 < 4$

خطوة 6

درجة بسط الكسر أصغر من درجة القاسم، ما يعني أن $f (x)$ دالة فعلية.

حقيقي